3.16 Propiedades de la transformada inversa

Linealidad
   

Una propiedad que posee la TL-Inversa, la cual hereda de la TL, y que nos permitirá encontrar en algunas ocaciones la TL-Inversa es la propiedad de linealidad, la cual se enuncia en el siguiente teorema:

Sean F (s) y G (s) las TL de dos funciones f (t) y g (t) dadas y sea α una constante  cualquiera. Entonces se cumple

L−1 {F (s) + G (s)} = L−1 {F (s)} + L−1 {G (s)} = f (t) + g (t)

L−1 {αF (s)} = αL−1 {F (s)} = αf (t)

o equivalentemente

L−1 {αF (s) + G (s)} = L−1 {αF (s)} + L−1 {G (s)} = αL−1 {αF (s)} + L−1 {G (s)} = αf (t) + g (t)

Traslación





3.16.1 Determinación de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…,(s-a)n.

Ejemplo.

Calcule


Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir



en fraciones parciales


ahora sí

3.16.2 Determinación de la transformada inversa usando los teoremas Heaviside.

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o de Heaviside H: {0, + ∞} àR se define como:

 

3.15 Algunas Transformadas Inversas.

3.15 Algunas Transformadas Inversas.

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

f(t) = L^-1 {F(S)}

Algunas transfromadas inversas son:

L^-1 es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si α y β son constantes.

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

3.14 Transformada inversa

· Definición:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)

· Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; enseguida se explicará el Método de las Fracciones Parciales.

Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

3.13 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la presencia de una fuerza externa periódica.

Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periódica)

Sea f: [0, + ∞] à R una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo [0, + ∞].

Si f (t) es periódica, con periodo T, entonces

3.10 Teorema de la convolución

Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es NO. Para este tipo desituación podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

Supongamos que f y g poseen transformada de Laplace.

Si

y

entonces:

o de igual forma,

3.9 Transformada de integrales (Teorema)

La Transformada Inversa de una integral esta dada por la forma

3.8 Transformada de derivadas (Teorema)

3.7 Transformada de funciones t exponencial n, y divididas entre t

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace



3.5.1 Transformada de Laplace de la función escalón unitario

3.5 Función escalón unitario

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma: 

           

                                                                                     

El tipo de escalón unitario corresponde a una salida. El valor de la función en t=0, es indefinido. Otros textos lo pueden definir como 1 o 0. Así pues ésta nos representa la corriente continua disipada en nuestro dispositivo.

Función Escalón Unitario o Heaviside

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo. Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación. En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:

Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se obtiene la siguiente gráfica: En el caso de la función escalón, fisicamente representa un cambio instantáneo que se produce a t=0, es una suposición el hecho de representar una función con tiempos negativos (lo cual no existe), en cambio sirve para representar el caso de un interruptor que permanece abierto hasta que en un instante se cierra, estableciendo el máximo voltaje a una carga.

Transformadas mas comunes.

UNIDAD III

A continuación presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace de
algunas funciones

Unidad III

3.3 Transformada de Laplace de funciones básicas

a)
b)

c)
d)

e) f)

g)


Ejemplos:

3.4 Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos


Propiedades de la Transformada de Laplace

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas.