3.16 Propiedades de la transformada inversa

Linealidad
   

Una propiedad que posee la TL-Inversa, la cual hereda de la TL, y que nos permitirá encontrar en algunas ocaciones la TL-Inversa es la propiedad de linealidad, la cual se enuncia en el siguiente teorema:

Sean F (s) y G (s) las TL de dos funciones f (t) y g (t) dadas y sea α una constante  cualquiera. Entonces se cumple

L−1 {F (s) + G (s)} = L−1 {F (s)} + L−1 {G (s)} = f (t) + g (t)

L−1 {αF (s)} = αL−1 {F (s)} = αf (t)

o equivalentemente

L−1 {αF (s) + G (s)} = L−1 {αF (s)} + L−1 {G (s)} = αL−1 {αF (s)} + L−1 {G (s)} = αf (t) + g (t)

Traslación





3.16.1 Determinación de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales

Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…,(s-a)n.

Ejemplo.

Calcule


Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir



en fraciones parciales


ahora sí

3.16.2 Determinación de la transformada inversa usando los teoremas Heaviside.

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o de Heaviside H: {0, + ∞} àR se define como:

 

3.15 Algunas Transformadas Inversas.

3.15 Algunas Transformadas Inversas.

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

f(t) = L^-1 {F(S)}

Algunas transfromadas inversas son:

L^-1 es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si α y β son constantes.

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

3.14 Transformada inversa

· Definición:

Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f (t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:

L-1 { F(s)} = f(t)

· Método para hallar la Antitransformada de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la antitransformada de Laplace; enseguida se explicará el Método de las Fracciones Parciales.

Cualquier función racional de la forma P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma A / (as + b)r , donde A es una constante y r = 1,2,3 .... Al hallar las antitransformadas de cada fracción parcial, se halla L-1 { P(s)/ Q(s)}.

3.13 TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC

3.11 Transformada de Laplace de una función periódica.

Es muy común, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos eléctricos, la presencia de una fuerza externa periódica.

Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escalón, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

TEOREMA (Transformada de una función periódica)

Sea f: [0, + ∞] à R una función continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo [0, + ∞].

Si f (t) es periódica, con periodo T, entonces